Procedimento per risolvere gli esercizi dei vettori sul piano cartesiano

Esistono in rete pochi esercizi sui vettori nel piano cartesiano e ho deciso di creare questa guida per permettere ad altri di capire come si svolgono questi problemi che non sono molto facili da comprendere. Spero che vi sia utile e che vi permetta di capire come si svolgono . Iniziamo subito!

Per permettervi di capire, iniziamo subito a svolgere subito un problema. Vorrei ricordare che per indicare simbolicamente un vettore è necessario inserire una freccia sopra la lettera minuscola che si desidera. Io in questo caso non posso perché il computer non mi permette di farlo.

Dati:
Vettore a: ha come punto estremo A (+2; +5)
Vettore b: ha come modulo 12 e forma una angolo di 120° rispetto all'asse x.
Vettore c: ha come punto estremo C (+3; +6)

Calcolare:
+ I componenti del vettore.
+ Il modulo e l'angolo formato dai vettori rispetto all'asse x.
+ Il vettore s: 3a + b - c

Procedimento

1) Calcolo il modulo del "vettore a" utilizzando il teorema di Pitagora in questo modo:
√(+2)²+ (+5)² = √4+25 = √29 = 5,38

Domanda e risposta: come faccio a calcolare i componenti del vettore a? non c'è bisogno di calcolarli dato che ce li hai già e sono a_x= +2 e a_y= +5.

Dato che conosciamo a_x e il modulo del "vettore a", possiamo calcolare il suo angolo rispetto all'asse "x" e bisogna fare: a_x/a (cioè la divisione tra a_x e il "vettore a"). Ecco come viene:

Angolo "vettore a": a_x/a = +2/5,38 = 0,37. Per trovare l'angolo = sin^-1 0,37= 21,71°!

2) Conosciamo del "vettore b" il suo modulo e il suo angolo e vogliamo conoscere adesso i suoi componenti. Per farlo dobbiamo fare modulo*cos ANGOLO (b_x) e modulo*sin ANGOLO (b_y)!
b_x: 12*cos 120° = -6
b_y: 12*sin 120° = +10,39
In questo caso non sarà necessario calcolare il suo modulo dato che ci è già stato fornito nei dati (cioè 12).

Per calcolare il suo angolo rispetto all'asse "x" dobbiamo fare come abbiamo fatto per il "vettore a" solo che in questo caso dovremo utilizzare b_x e come modulo "b":
Angolo "vettore b": b_x/b = 6/12 = 0,5 = 0,5*sin^-1= 30° (come vedete ho trasformato gli elementi da negativi a positivi, se no l'angolo usciva negativo).

3) Con il "vettore c" dobbiamo fare lo stesso procedimento che abbiamo utilizzato con il "vettore a". Calcoliamo il suo modulo con il teorema di Pitagora: √(+3)²+ (+6)² = √9+36 = √45 = 6,70.

Dato che conosciamo c_x e il modulo del "vettore c", possiamo calcolare il suo angolo rispetto all'asse "x" e bisogna fare: c_x/c (cioè la divisione tra c_x e il "vettore c"). Ecco come viene:


Angolo "vettore c": c_x/c = +3/6,70 = 0,44. Per trovare l'angolo = sin^-1 0,44= 26,10°!


Adesso arriva la parte più "complicata"! Dobbiamo calcolare il "vettore s" formato da i tre vettori (a, b, c). Vorrei precisare che non bisogna assolutamente sommare i moduli dei vettori perché fareste un grandissimo errore e renderebbe i vostri calcoli finora fatti totalmente inutili. Come potete notare abbiamo distinto i componenti in "x" e in "y" non perché non avevamo nulla da fare ma perché ci servirà appunto per calcolare il "vettore s"; come? facendo il teorema di Pitagora tra s_x e s_y!

Per trovare s_x dobbiamo convertire le lettere 3a+b-c in questo modo:
s_x: 3*2+(-6)-(+3) = +3
N.B: come vedi ho inserito solo i componenti "x" dei "vettori a, b, c).

Per trovare s_y dobbiamo convertire le lettere 3a+b-c in questo modo:
s_y: 3*5+10,39-(+6) = 19,39.
N.B: come vedi ho inserito solo i componenti "y" dei "vettori a, b, c).

Adesso che abbiamo quasi concluso, dobbiamo fare il teorema di Pitagora tra s_x e s_y. Il risultato sarà il "vettore s". Il problema è concluso.




+ Si ringrazia Luca Galaz per i suoi suggerimenti a risolvere questo problema.